Hur räknar man ut 2 upphöjt till x
Räkna tillsammans potenser
Lösningsförslag:
a)
Eftersom dem båda faktorerna besitter identisk bas, 3, använder oss räkneregeln till multiplikation från potenser.
$$ {3}^{3}\cdot{3}^{2}={3}^{3+2}={3}^{5}$$
b)
I detta på denna plats fallet besitter oss tre faktorer, dock oss kunna ändå nyttja räkneregeln till multiplikation från potenser, angående oss kalkylerar produkten inom numeriskt värde steg.
Kom även minnas för att 10 existerar identisk sak liksom 101.
$${10}^{2}\cdot{10}^{5}\cdot10=$$
$$= {10}^{2+5}\cdot10=$$
$$={10}^{7}\cdot10=$$
$$={10}^{7+1}= $$
$$={10}^{8}$$
Division tillsammans med potenser
Även då oss dividerar potenser finns detta räkneregler likt utför detta enklare på grund av oss för att räkna då potenserna äger identisk bas.
Vi bör börja tillsammans med för att titta vid en modell tillsammans enstaka kvot var täljaren samt divisor existerar potenser tillsammans med basen 10:
$$ \frac{{10}^{6}}{{10}^{3}}$$
På identisk sätt såsom oss visade vad gäller multiplikation, förmå oss beräkna detta denna plats uttrycket genom för att notera potenserna liksom varor från en antal 10-faktorer, därför här:
$$ \frac{{10}^{6}}{{10}^{3}}=\frac{10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10}{10\cdot10\cdot10}$$
Hur bör oss idag vandra vidare?
Jo, eftersom faktorn 10 förekommer tre gånger inom produkterna inom täljaren samt divisor, förmå oss göra kortare täljaren samt divisor tillsammans med 10 tre gånger.
Vi undersöker hur oss kunna nedteckna upprepad multiplikation tillsammans med hjälp från potenser samt vilka räkneregler likt gäller då oss använder potenser.detta ger oss detta resultat:
$$\frac{10\cdot10\cdot10\cdot{\color{Red} \not}{10}\cdot{\color{Red} \not}{10}\cdot{\color{Red} \not}{10}}{{\color{Red} \not}{10}\cdot{\color{Red} \not}{10}\cdot{\color{Red} \not}{10}}=$$
$$=\frac{10\cdot10\cdot10}{1}=$$
$$=1\,000={10}^{3}$$
Alltså blir den ursprungliga kvoten denna tiopotens:
$$ \frac{{10}^{6}}{{10}^{3}}={10}^{3}$$
Ett snabbare sätt för att beräkna denna kvot existerar för att behålla basen 10 samt låta den nya exponenten artikel lika tillsammans differensen mellan 6 samt 3, sålunda här:
$$ \frac{{10}^{6}}{{10}^{3}}={10}^{6-3}={10}^{3}$$
Det denna plats existerar enstaka allmän räkneregel vilket gäller då oss dividerar numeriskt värde potenser likt äger identisk bas: basen ändras ej, dock exponenten blir lika tillsammans differensen mellan täljarens samt nämnarens exponenter.
Vi förmå alltså räkna vid identisk sätt angående oss mot modell bör dividera numeriskt värde potenser liksom besitter basen 2:
$$ \frac{{2}^{5}}{{2}^{3}}={2}^{5-3}={2}^{2}$$
Allmänt är kapabel oss nedteckna den denna plats räkneregeln sålunda här:
$$ \frac{{a}^{b}}{{a}^{c}}={a}^{b-c}$$
där a existerar basen likt existerar gemensam på grund av dem båda potenserna, samt b samt c existerar exponenterna.
Skriv kvoten vilket ett enda potens
$$ a)\,\,\frac{{5}^{9}}{{5}^{6}}$$
$$b)\,\,\frac{{10}^{3}\cdot{10}^{2}}{{10}^{4}}$$
Lösningsförslag:
a)
Vi ser för att potenserna inom täljaren samt divisor besitter identisk bas.
Därför kunna oss nyttja räkneregeln till division från potenser:
$$ \frac{{5}^{9}}{{5}^{6}}={5}^{9-6}={5}^{3}$$
Om oss kalkylerar värdet från denna potens, därför kommer oss fram mot för att uttrycket existerar lika tillsammans 125.
b)
I den denna plats uppgiften besitter oss en formulering var kvoten besitter ett vara från potenser inom täljaren samt ett potens inom divisor.
oss är kapabel förenkla uttrycket genom för att ursprunglig nyttja räkneregeln på grund av multiplikation från potenser vid uttrycket inom täljaren, samt sedan dividera potenserna.
Vi börjar tillsammans med för att multiplicera potenserna inom täljaren:
$$ \frac{{10}^{3}\cdot{10}^{2}}{{10}^{4}}=\frac{{10}^{3+2}}{{10}^{4}}=\frac{{10}^{5}}{{10}^{4}}$$
Nu kunna oss dividera potenserna tillsammans hjälp från räkneregeln till division:
$$ \frac{{10}^{5}}{{10}^{4}}={10}^{5-4}={10}^{1}$$
Efter för att oss besitter förenklat uttrycket blev detta lika tillsammans med 10.
Potenser tillsammans exponenten noll
När oss idag äger lärt oss räkneregeln vilket gäller nära division från potenser likt äger identisk bas, bör oss vandra vidare samt undersöka vad detta innebär för att äga enstaka potens tillsammans exponenten lika tillsammans med noll.
Till modell önskar oss känna till värdet från denna potens:
$$ {10}^{0}$$
Från räkneregeln på grund av division från potenser vet oss hur oss kalkylerar enstaka kvot från typen
$$ \frac{{10}^{2}}{{10}^{2}}$$
Denna kvot bör existera lika tillsammans med enstaka potens tillsammans med basen 10, vars exponent existerar differensen mellan täljarens samt nämnarens exponenter, således här:
$$ \frac{{10}^{2}}{{10}^{2}}={10}^{2-2}={10}^{0}$$
Men oss vet även för att oss är kapabel nedteckna potenserna inom täljaren samt divisor såsom varor från 10-faktorer, samt sedan förkorta:
$$ \frac{{10}^{2}}{{10}^{2}}=\frac{10\cdot10}{10\cdot10}=\frac{{\color{Red} \not}{10}\cdot{\color{Red} \not}{10}}{{\color{Red} \not}{10}\cdot{\color{Red} \not}{10}}=\frac{1}{1}=1$$
Av detta på denna plats är kapabel oss dra slutsatsen att
$$ {10}^{0}=1$$
På motsvarande sätt kunna oss komma fram mot för att även potenser tillsammans med andra baser än 10 vilket besitter exponenten 0 existerar lika tillsammans med 1.
Allmänt gäller därför att
$$ {a}^{0}=1$$
där a existerar potensens bas.
Förenkla uttrycket
$$ \frac{{4}^{6}}{{4}^{4}\cdot{4}^{2}}$$
Lösningsförslag:
Vi börjar tillsammans för att förenkla divisor tillsammans hjälp från räkneregeln till multiplikation från potenser.
$$ \frac{{4}^{6}}{{4}^{4}\cdot{4}^{2}}=\frac{{4}^{6}}{{4}^{4+2}}=\frac{{4}^{6}}{{4}^{6}}$$
Sedan förenklar oss uttrycket tillsammans med hjälp från räkneregeln till division från potenser.
$$ \frac{{4}^{6}}{{4}^{6}}={4}^{6-6}={4}^{0}=1$$
Efter för att oss dividerade såg oss alltså för att oss fick ett potens tillsammans med exponenten noll, vilket måste existera lika tillsammans med 1.
Därför existerar bota uttrycket lika tillsammans 1.
Videolektioner
Här går oss igenom 10-potenser.
Här går oss igenom multiplikation tillsammans med 10-potenser.
Här går oss igenom division tillsammans 10-potenser.
Här går oss igenom multiplikation tillsammans med potenser.
Här går oss igenom division tillsammans potenser.
Här går oss igenom potenser vilket besitter exponenten 0.