Vad betyder pilar i matematik

Aritmetik, räknelära, (från grekiskan arithmein: räkna, arithmetike: räknekonst, arithmos: tal) existerar den kvist inom matematiken såsom behandlar räknande. detta existerar den maximalt ursprungliga formen från matematik samt innefattar elementär attribut hos anförande, vilket hur dem skrivs samt hur dem fungerar beneath addition, subtraktion, multiplikation samt division; även andra räkneoperationer liksom procenträkning, potenser, rotutdragning samt logaritmer tillhör aritmetiken.

Med anförande avses dem naturliga talen, heltalen, dem rationella talen (bråk från heltal), dem reella talen (decimalutvecklingar samt andra skrivsätt) alternativt dem komplexa talen.

I detta del påbörjar oss den matematiska logiken genom för att presentera implikation samt likvärdighet samt hur dem kunna placeras mellan påståenden.

Kärnan inom aritmetiken utgörs från numeriska utfall, samt dem tekniker (uppställningar samt praktiska hjälpmedel) liksom används på grund av för att ett fåtal fram dessa påverkan.

Termen "högre aritmetik" syftar vid talteori, detta önskar yttra mer avancerade talegenskaper. detta existerar inom detta kontext man finner aritmetiska funktioner samt aritmetikens fundamentalsats.

Historia

[redigera | redigera wikitext]

Aritmetikens ursprung

[redigera | redigera wikitext]

Aritmetiken existerar den äldsta grenen från matematiken samt ligger mot bas på grund av all övrig matematik. Grunden mot aritmetiken ligger inom förmågan för att jämföra olika attribut hos saker inom form eller gestalt från antal, storlek samt struktur.

Detta existerar attribut likt går för att spåra tillbaka ända mot dem allra allra första människorna. detta existerar dock ej attribut likt existerar unika på grund av människan vilket fullfölja för att detta existerar omöjligt för att besluta hur långt tillbaka inom tiden dem egentligen sträcker sig.

Principen på baksidan aritmetiken bygger alltså vid jämförelser.

detta lättaste exemplet existerar för att behärska skilja vid en enstaka objekt samt ett samling från identisk objekt. mot modell skillnaden mellan en växt samt ett täckt område alternativt en får samt ett hel flock. Nästa steg existerar då för att titta en samband mellan trädet samt fåret. detta existerar numeriskt värde objekt vilket existerar väldigt olika dock likt äger något gemensamt inom samt tillsammans för att dem båda existerar utan sällskap.

Detta är kapabel tyckas enkelt dock existerar en stort samt viktigt steg mot för att behärska börja räkna. denna plats definieras nämligen talet, liksom den gemensamma faktorn mellan olika grupper. då man lärt sig särskilja samt känna igen enstaka objekt existerar nästa steg för att lära sig uppleva igen par.^[1] tillsammans med hjälp från dessa numeriskt värde verktyg förmå sedan tre objekt identifieras såsom en par samt en enstaka objekt alternativt fyra objekt liksom numeriskt värde par.

Fyra existerar detta största anförande likt människan direkt förmå känna igen. Bara genom för att titta vid enstaka mängd kunna oss tillsammans hjälp från vår omedelbara perception från antal alternativt "känsla" på grund av antal, direkt titta angående den äger en, numeriskt värde, tre alternativt fyra element.

angående kvantiteten besitter fler element än fyra måste oss däremot nyttja oss från någon teknik på grund av för att besluta antalet, räkning.^[2] Studier visar för att även vissa varelse, mot modell kajor, kunna känna igen upp mot fyra element, vilket ger intrycket från för att dem räknar.^[1][3]

I start från talet utfördes studier från talsystemen hos olika urbefolkningar inom mot modell Syd- samt Centralafrika, Australien samt Sydamerika.

nära dessa studier från deras talsystem visade detta sig för att dem flesta från dessa stammar bara ägde mening på grund av en samt numeriskt värde. dem kunde även uttrycka talen tre samt fyra genom för att yttra "ett-och-två" alternativt "två-och-två". samtliga anförande ovan fyra motsvarades från mening liksom "många", "flera" samt "oräkneliga".

Detta beror vid för att man ej är kapabel känna igen fler än fyra objekt utan teoretisk räkning.

Det finns dock andra, konkreta, metoder till för att jämföra antal. Genom för att nyttja andra objekt, mot modell stenar, pinnar alternativt benbitar, är kapabel man jämföra antalet objekt inom enstaka mängd. Detta kallas till ett-till-ett överensstämmelse. ifall man mot modell önskar känna till för att inga får saknas inom ett flock kunna man karva enstaka skåra inom enstaka pinne på grund av varenda får samt genom för att senare jämföra pinnen tillsammans med flocken är kapabel man titta angående detta saknas något får.

en annat klart modell existerar ifall man sätter sig inom enstaka kollektivfordon. Då finns detta numeriskt värde grupper inom bussen, passagerarna samt sittplatserna. Genom för att para ihop dem numeriskt värde samt numeriskt värde förmå man direkt att fatta beslut eller bestämma något ifall dem stämmer överens inom antal alternativt, ifall ej, vilken detta finns flest från, allt utan för att räkna.

Om man tittar närmare vid dessa urbefolkningars sätt för att producera talen tre samt fyra ser man för att man lika enkel skulle behärska producera talet fem såsom "två-två-ett" alternativt talet sex vilket "två-två-två". Detta kräver dock en teoretisk resonemang. dock detta leder oss in vid ett från grundprinciperna på grund av aritmetiken.

Genom för att lägga ihop samt lägga mot anförande mot dem man redan äger förmå man producera samtliga dem naturliga talen.^[2]

Aritmetikens historia

[redigera | redigera wikitext]

Ett från dem allra första spåren från aritmetik hittades inom dåvarande Tjeckoslovakien samt existerar cirka 30 tid gammalt.

detta existerar en vargben inom vilket detta finns 60 skåror inristade. Skårorna existerar indelade inom numeriskt värde grupper tillsammans 25 snitt inom den en samt 35 inom den andra. Dessa grupper existerar inom sin tur uppdelade inom grupper ifall fem snitt vardera.^[1][3]

De allra första skriftliga bevisen vid mer sofistikerad matematik kommer ifrån Egypten samt Mesopotamien.

Matematiken utvecklades från praktiska skäl på grund av för att mot modell mäta upp landområden, bedriva köp alternativt driva in skatter. inom Egypten fanns en tiotalsystem tillsammans hieroglyfer. varenda indikator representerade en särskilt värde. dem olika tecknen sattes tillsammans samt adderades mot varandra till för att producera nya anförande.

Principen på grund av addition fanns lätt inom samt tillsammans med för att detta bara fanns för att summera tecknens värden. Även multiplikation samt division fanns.

Matematisk argumentation existerar ett huvud sektion från matematik samt innefattar idé vilket likvärdighet, implikation samt axiom.

detta Egyptiska talsystemet besitter stora likheter tillsammans med detta romerska talsystemet (som dock senare blev positionsberoende, genom för att subtraktion infördes: IIII började tecknas IV o.s.v.).

I Mesopotamien användes en talsystem tillsammans med 60 såsom bas, detta sexagesimala talsystemet. på denna plats introducerades detta inledande positionssystemet.

Detta betyder för att identisk indikator används på grund av olika numeriska värden beroende vid vilken position detta besitter inom talet. Systemet fanns dock tvetydigt vid bas från bristen vid talet noll. till för att förhindra dem bekymmer vilket uppstod infördes enstaka tecken på grund av den "tomma" platsen mellan numeriskt värde anförande.

Denna användes dock bara inne inom anförande samt ej inom slutet vilket gjorde för att talsystemet blev relativt.

() betyder: arean mellan x-axeln samt grafen från funktionen f ifrån x = a mot x = b, var dem delar likt ligger beneath x-axeln räknas vilket negativ area.

till för att jämföra tillsammans med vårt tiotalsystem kunde man mot modell ej känna till ifall talet 11 betydde 11 alternativt alternativt annat än från sammanhanget. Spår ifrån detta sexagesimala talsystemet finns kvar än idag inom vår tidmätning samt vår vinkelräkning. Symbolen 0 på grund av noll började användas inom slutet från anförande ursprunglig omkring från greken Ptolemaios.

I Kina ägde den tidiga matematiken stora likheter tillsammans den egyptiska. Redan omkring räknade man tillsammans negativa anförande inom Asien. inom Indien använde man detta decimala positionssystemet, decimala talsystemet, detta struktur oss använder idag. Omkring tror man för att talsystemet inom sin nuvarande form eller gestalt fanns fullt utvecklat samt även innehöll nollan likt en erkänt anförande tillsammans med definierade operationer (alla utom division tillsammans noll).

dem insåg även problemen tillsammans med för att ta kvadratroten ur negativa anförande. Dessa anförande kallades därför till "overkliga", grunden mot vilket oss idag kallar imaginära anförande.

Pilen betyder implikation samt menas tillsammans för att detta en medför detta andra.

Dessa kunskaper spreds senare mot Europa från araberna beneath medeltiden.

Även Grekerna ägde massiv inverkan på grund av aritmetikens tillväxt. dem införde satser samt bevis samt dem plats dem inledande för att bevisa existensen från dem irrationella talen.^[3]

I start från talet^[3] började logaritmer användas.

detta existerar den sista operatorn likt införlivats inom aritmetiken. Införandet alternativt upptäckten från logaritmer brukar tillskrivas John efternamn. tillsammans hjälp från räknesticka alternativt tabeller äger logaritmer fram mot datoråldern varit en effektivt beräkningshjälpmedel till multiplikation, division samt potensräkning.

"Pi", likt betecknas tillsammans den grekiska bokstaven π, används ovan bota världen från matematik, naturvetenskap, fysik, arkitektur samt mer.

De talsystem liksom existerar vanligast förekommande bygger vid talbaser från fem, tio alternativt 20. Detta besitter sitt ursprung inom den mänskliga kroppens anatomi då detta existerar antalet fingrar samt tår. Även baserna numeriskt värde samt tre äger förekommit dock inom solens tid äger dem flesta andra baser fått ge vika till basen tio. Basen numeriskt värde besitter dock börjat användas allt oftare inom samt tillsammans datorernas framväxt, titta detta binära talsystemet.^[2]

Aritmetiska operatorer

[redigera | redigera wikitext]

Aritmetikens viktigaste operationer existerar dem fyra räknesätten.

Det enklaste räknesättet existerar addition. angående man adderar numeriskt värde anförande tar man summan från dem, man lägger ihop antalet element inom numeriskt värde mängder mot enstaka mängd. Omvändningen mot addition existerar subtraktion, för att ta försvunnen en visst antal element ifrån ett mängd. på grund av addition behövs bara dem naturliga talen dock nära införandet från operatorn subtraktion utvidgas denna mängd mot för att innefatta även dem negativa talen.

Multiplikation förmå definieras likt upprepad addition från identisk anförande. Talet n adderat mot sig självt m gånger ger identisk konsekvens såsom produkten från n samt m. Omvändningen mot multiplikation existerar division, antal element inom varenda delmängd angående enstaka mängd delas inom en visst antal delmängder. nära införandet från denna operator utvidgas kvantiteten mot för att innehålla rationella anförande (bråk) samt reella anförande.

Potensräkning förmå ses likt en specialfall från multiplikation då detta existerar identisk anförande multiplicerat tillsammans med sig självt en visst antal gånger. Detta gäller dock bara angående exponenten existerar en positivt heltal; enstaka ytterligare definition behövs angående operationerna skall existera definierade på grund av samtliga talpar.

Det denna plats existerar ett register ovan vanligt förekommande symboler vilket används inom matematiska uttryck.

Ur detta kunna härledas numeriskt värde andra operatorer. Den en existerar rotdragning; n:te roten ur en anförande a existerar en anförande x därför för att xⁿ&#;=&#;a. till för att behärska utföra tvingas man utvidga kvantiteten anförande mot för att även innefatta dem irrationella talen samt, ifall man önskar behärska dra roten ur negativa anförande, dem imaginära talen.

Logaritmer existerar den andra operatorn såsom kunna härledas ifrån potenserna.

I matematik 2b samt 2c bör ni behärska beräkna samt avgöra spridningsmåtten variationsbredd, kvartilavstånd samt percentiler samt uppleva mot hur man förmå beräkna standardavvikelser samt arbeta tillsammans normalfördelat material.

Logaritmen till en anförande a existerar detta anförande man måste upphöja en självklart anförande, b, mot på grund av för att erhålla talet a. Logaritmer finns till olika baser, b: x&#;=&#;log_b&#;a&#;⇔&#;b^x&#;=&#;a.

Räknelagar (axiom)

[redigera | redigera wikitext]

För för att dem utvidgningar inom kvantiteten från anförande likt beskrivits ovan bör artikel giltiga behövs för att dem elementär räknelagarna ännu gäller till addition samt multiplikation; dessa existerar kommutativitet, associativitet, distributivitet, neutralt element samt invers^{[särskiljning&#;behövs]}.

Ur dem är kapabel man härleda andra räknelagar, potenslagarna samt logaritmlagarna till för att stipulera andra regler till hur aritmetiken fungerar.

Kommutativitet

[redigera | redigera wikitext]

Kommutativitet innebär för att detta ej äger någon innebörd inom vilken ordning dem numeriskt värde talen besitter nära operatorn: x + y = y + x samt x · y = y · x

Potenser existerar ej kommutativa.

allmänt gäller för att x^y ≠ y^x även ifall undantag finns.

Associativitet

[redigera | redigera wikitext]

Associativitet innebär för att detta ej äger någon innebörd hur man ordnar tre alternativt fler anförande vilket bör adderas alternativt multipliceras, innan operationerna utförs (x + y) + z = x + (y + z) samt (x · y) · z = x · (y · z) .

Potenser existerar ej heller associativa: (x^y)^z ≠ x^(yz).

Distributivitet

[redigera | redigera wikitext]

Distributivitet innebär för att x · (y + z) = (x · y) + (x · z).

Dess funktion existerar för att producera koppling mellan dem båda räknesätten.

Motsvarande distributiva lagen till potenser är: (x · y)^z = x^z · y^z.

Neutralt element

[redigera | redigera wikitext]

Ett neutralt element existerar en anförande var värdet vid detta andra talet existerar oförändrat beneath operationen; på grund av vilket anförande a vilket helst gäller för att 0 existerar en neutralt element på grund av addition eftersom a + 0 = 0 + a = a, 1 existerar en neutralt element på grund av multiplikation eftersom a · 1 = 1 · a = a.

Invers

[redigera | redigera wikitext]

För varenda anförande a finns en annat anförande (-a) på grund av vilket detta gäller att: a + (-a) = 0. Detta anförande kallas den additiva inversen. vid identisk sätt finns en anförande a^-1 sådant för att a · a^-1 = 1, på grund av samtliga anförande a utom a = 0.

Detta anförande kallas den multiplikativa inversen.

Detta ger tillfälle för att definiera subtraktion samt division utifrån axiomen. detta gäller nämligen för att a - b = a + (-b) samt för att a / b = a · b^-1. detta motiverar även utvidgningar mot negativa anförande samt mot rationella anförande.

Operatorordning

[redigera | redigera wikitext]

Inom aritmetiken gäller enstaka viss operatorprioritet (operatorordning). Detta betyder för att olika operatorer inom en formulering beräknas inom olika ordning. Multiplikation samt division beräknas inledningsvis samt sedan addition samt subtraktion.

ifall uttrycket innehåller parenteser besitter dessa högst prioritet samt uttrycket inom parentesen beräknas ursprunglig, i enlighet med den vanliga operatorordningen.

Aritmetiken inom vardagen

[redigera | redigera wikitext]

Aritmetiken ligger mot bas på grund av den övriga matematiken samt primär operationer vid naturliga anförande existerar detta inledande man får lära sig inom skolan.

inom land existerar detta obligatoriskt till samtliga unge för att lära sig för att behärska aritmetikens grundläggande principer eller fundament samt oss använder den dagligen inom vårt vuxna liv. Även angående detta idag finns ett mängd redskap för hjälp inom struktur från miniräknare samt datorer behövs ett primär medvetande på grund av aritmetiken på grund av för att klara från detta dagliga existensen.

Se även

[redigera | redigera wikitext]

Källor

[redigera | redigera wikitext]

Fotnoter

[redigera | redigera wikitext]