Bestäm lutningen k för en linje genom

Räta linjens ekvation beskriver en linjärt samband mellan numeriskt värde variabler, \(y\) samt \(x\).

Linjens ekvation.

sträcka ritas likt linjär linje inom en koordinatsystem.

Räta linjens ekvation skrivs

$$y=kx+m$$

Där \(k\) samt \(m\) existerar konstanter liksom avgör sambandet mellan variablerna \(x\) samt \(y\). Konstanten \(k\) anger linjens lutning samt \(m\) anger nära vilket värde likt sträcka skär y-axeln, då \(x=0\).

Exempel 1

Antag för att konstanterna \(m=5\) samt \(k=1\).

Denna räta linjes ekvation är:

$$y=1\cdot x+5=x+5$$

Exempel 2

Den räta sträcka \(y=2x+3\) besitter nästa graf:

Linjen skär y-axeln nära \(y=3\), liksom oss kunna studera från via m-värdet, då \(x=0\).

Lutningen \(k\) hittas genom för att analysera hur stegen inom x-led förhåller sig mot stegen inom y-led.

till varenda steg inom x-led tas numeriskt värde steg inom y-led på grund av varenda punkt längs linjen.

k-värdet \(2\) innebär enstaka ökning från x-värdet tillsammans med \(1\) samt ett ökning från y-värdet tillsammans \(2\).

Bestäm räta linjens ekvation vid formen y = kx + m på grund av den utritade sträcka (se foto inom video).

på grund av varenda steg \((+1)\) inom x-led tas \(k\) steg inom y-led.

Den räta linje \(y=-2x+4\) besitter nästa graf:

k-värdet \(-2\) innebär ett ökning från x-värdet \((A-B)\) samt enstaka minskning från y-värdet \((B-C)\) tillsammans \(2\).

Konstanterna \(k\) samt \(m\)

Konstanten \(k\) kallas riktningskoefficient samt betecknar lutningen vid linje.

en positivt k-värde ger ett linje likt lutar snett uppåt åt motsats till vänster inom koordinatsystemet, alltså för att y-värdet blir större ju större värdet blir vid den oberoende variabeln \(x\).

I figuren ovan ser oss inom mörk den konstanta sträcka \(y=1\), inom grönt \(y=x\), samt inom rött \(y=3x\).

Ett negativt k-värde ger enstaka linje vilket lutar snett neråt åt motsats till vänster, samt för att y-värdet blir mindre ju större värdet blir vid den oberoende variabeln.

I figuren ovan ser oss den konstanta sträcka \(y=1\) inom mörk, den minskande \(y=-x\) inom grönt, samt minskande \(y=-3x\) inom rött.

När \(k=0\) därför äger linje enstaka horisontell lutning liksom existerar parallell tillsammans med x-axeln.

Notera för att ifall \(k=0\) därför kommer ej y-värdet för att artikel beroende från värdet vid den oberoende variabeln – y-värdet kommer då för att artikel detsamma, konstant, oavsett från den oberoende variabelns värde. då k-värdet existerar \(0\), existerar \(y=0x+m\). Vilket existerar identisk sak såsom \(y=m\).

Konstanttermen \(m\) bestämmer plats linje skär y-axeln.

Denna räta linjes ekvation är: Konstanten \ (k\) kallas riktningskoefficient samt betecknar lutningen vid linjen.

m-värdet motsvarar y-värdet inom den punkten var \(x=0\), alltså var linje skär y-axeln.

När m-värdet existerar positivt skär linje y-axeln ovanför origo samt då detta existerar negativt skär sträcka y-axeln beneath origo. då \(m=0\) går genom origo, dvs. punkten \((0,\,0)\).

Exempel 3

Ritar oss linje \(y=x+5\) inom exempel 1 skär y-axeln inom punkten \((0,\,5)\), dvs.

den punkt var \(x=0\) samt \(y=5\).

Räkna ut lutning vid enstaka rät linje

Givet numeriskt värde punkter vid linje \((x_1, y_1)\) samt \((x_2, y_2)\) således är kapabel oss tillsammans med nästa formel räkna fram lutningen:

$$k=\frac{\text{Förändring i}\;y\text{-led}}{\text{Förändring i}\;x\text{-led}}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Exempel 4

Antag den räta sträcka \(y=x+5\) tillsammans med nästa värdetabell.

\(x\)	\(y\)
0	5
1	6
2	7
3	8
4	9

Välj numeriskt värde slumpmässiga punkter ifrån tabellen, t.ex.

\((0,\,5)\) samt \((3,\,8)\). oss sätter

$$(x_1, y_1)=(0, 5)\;\text{och}\;(x_2, y_2)=(3, 8)$$

Sätt in punkterna inom formeln till för att beräkna k-värdet:

$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{8-5}{3-0}=\frac{3}{3}=1$$

Vi vet för att detta stämmer, då funktionen äger formen \(f(x)=x+5\), dvs. äger \(k=1\).

Räkna ut fanns linjer skär \(y\)-axeln

Härnäst bör oss visa numeriskt värde metoder till för att ta reda vid \(m\)-värdet.

Den en metoden kallas till \(k\)-form samt den andra kallas på grund av enpunktsform.

Räkna ut linjens ekvation – 2 punkter givna

När oss äger numeriskt värde punkter till enstaka rät linje är kapabel oss besluta denna räta linjes ekvation \(y=kx+m\), genom för att räkna ut \(k\)-värdet samt \(m\)-värdet.

Exempel

Vi använder identisk modell likt på grund av \(k\)-värdet.

oss besitter räknat ut \(k\)-värdet mot \(1\), tillsammans med punkterna \((0,\,5)\) samt \((3,\,8)\).

En rät linje förmå beskrivas matematiskt tillsammans likheten y = kx + m var bokstäverna inom formeln betyder följande.

oss sätter in \(k\)-värdet inom räta linjens ekvation på grund av för att åtgärda ut \(m\):

$$y=kx+m=1\cdot x+m=x+m$$

$$m=y-x$$

Vi vet numeriskt värde punkter vid linje, oss väljer någon från dem samt sätter in inom ekvationen. oss får idag enstaka ekvation tillsammans endast ett variabel, vilket oss är kapabel åtgärda.

Exempelvis punkten \((3,\,8)\):

$$m=8-3=5$$

Konstanterna existerar för tillfället beräknade mot \(k=1\) samt \(m=5\). Vår räta linjens ekvation är:

$$y=kx+m=1\cdot x+5=x+5$$

Linjens ekvation existerar \(y=x+5\)

Exempel

I nästa geogebra - graf kunna man analysera lutningen (\(k\)-värde) samt skärning tillsammans med \(y\)-axeln (\(m\)-värde) genom för att dra inom glidarna samt flytta punkterna (\(\color{Blue}{\text{A}}\) samt \(\color{Blue}{\text{B}}\)) likt kalkylerar \(k\).

Linjens ekvation inom enpunktsform

När oss känner mot \(k\)-värdet samt ett punkt på grund av enstaka rät linje kunna oss besluta denna räta linjes ekvation tillsammans med hjälp från enpunktsformen:

$$y-y_1=k(x-x_1)$$

Exempel

Med identisk exempellinje vilket tidigare besitter oss \(k=1\) samt punkten \((x_1,y_1)=(3, 8)\).

till varenda punkter längs den räta sträcka gäller sambandet

$$k=\frac{y-y_1}{x-x_1}\Rightarrow 1=\frac{y-8}{x-3}$$

Multiplicera upp divisor. detta ger räta linjens ekvation inom enpunktsform.

$$1\cdot(x-3)=y-8$$

Räta linjens ekvation inom \(k\)-form fås genom för att åtgärda ut \(y\)

$$y=x-3+8=x+5$$

Proportionalitet

Om ekvationen \(y=kx+m\) saknar \(m\)-värde, dvs.

Bestäm ett ekvation till plats samt enstaka från linjerna \(a\) samt \(b\).

\(m=0\), skrivs den räta linjen

$$y=kx$$

Detta specialfall kallas proportionalitet. detta betyder för att dem numeriskt värde variablernas förhållande existerar konstant. Man säger för att \(y\) motsvarar enstaka konstant multipel från \(x\). angående linje existerar proportionell därför existerar \(k=\frac{y}{x}\). (\(k\) förmå existera positiv alternativt negativ)

T.ex.

k-värdet bestämmer lutningen vid sträcka inom ekvationen \(y = kx + m \).

angående man köper ett artikel såsom kostar \(a\) kr/kg beräknas kostnaden tillsammans \(y=ax\). \(x\)-axeln representerar antal kg från varan samt kostnaden vid \(y\)-axeln.

Räta linjens ekvation inom allmän form

Den allmänna formen existerar \(ax+by+c=0\) var både \(a\) samt \(b\) existerar skilda ifrån \(0\). angående man dividerar båda sidor tillsammans med \(b\) samt ändrar bostadsort \(ax\) mot vänstersidan erhålles \(y=(-ax)/b-c/b\) detta medför att
$$k=-\frac{a}{b}\, \text{och}\;m=-\frac{c}{b}$$