Vilken är den sista siffran

Denna sats säger alltså för att oss är kapabel byta ut kongruenta anförande mot varandra inom våra beräkningar.

Låt oss titta hur detta går mot inom några exempel.

Här bevisar oss räkneregel 1, ta exempel vid samtliga tre reglerna samt lämna bevisen på grund av räkneregel 2 & 3 såsom övning.

Räkneregel 1 - Addition bevis

Regeln 1 säger att:
$$\mathbf{a + b \equiv a\,' + b\,' \pmod{n}}$$

Eftersom oss vet för att \(a \equiv a\,' \pmod{n}\) och \(b \equiv b\,' \pmod{n}\), vilket betyder för att detta finns numeriskt värde heltal \(\,k_1 \,och \,k_2\), sålunda att

$$\begin{cases}a - a\,' = \,k_1 \cdot n \: \: (1) \\ b - b\,' = \,k_2 \cdot n \: \: (2)\end{cases}$$

Om oss adderar ekvationer (1) + (2) får vi

$$(a + b) - (a\,' + b\,') = (k_1 + k_2)\cdot n$$

Låt oss sätta \(k = k_1 + k_2\), då får vi

$$(a + b) - (a\,' + b\,') =  k\cdot n$$

Här existerar \(k\) även en heltal, eftersom både \(k_1\) samt \(k_2\) fanns heltal, vilket bevisar att

$$\mathbf{a + b \equiv a\,' + b\,' \pmod{n}}$$

Exempel: oss önskar beräkna resten då 141 + 31 divideras tillsammans 7.

fanns på grund av sig vet oss att

$$\frac{141}{7}=20 \text{ rest } 1 $$

och att

$$\frac{31}{7}=4 \text{ rest } 3.

Vilken existerar den sista siffran inom talet (72 4 + 13 6)?

$$

Vi obeserverar idag för att 141 existerar kongruent tillsammans med sin rest, 1, modulo 7, då både 141 samt 1 äger resten 1 nära division tillsammans 7. identisk gäller på grund av 31, nämligen för att 31 existerar kongruent tillsammans med sin rest, 3, modulo 7. i enlighet med regel 1 är kapabel oss därför byta ut 141 mot 1 samt 31 mot 3 inom våra beräkningar.

oss får alltså

$$141 + 31 \equiv 1 + 3 \pmod{7}.$$

Här existerar högerledet många enklare för att beräkna resten från än vänsterledet ty resten då 1 + 3 = 4 divideras tillsammans med 7 existerar 4, dock i enlighet med definitionen från kongruenta anförande innebär detta för att 141 + 31 även besitter identisk rest nära division tillsammans med 7, nämligen resten 4.
Detta existerar detta vanligaste sättet för att nyttja räknereglerna, nämligen genom för att byta ut varenda anförande mot deras respektive kvarlevor nära division tillsammans med n.

detta existerar dock viktigt för att observera för att regel 1 ej säger att ”resten från ett summa existerar lika tillsammans summan från resterna”. Detta stämmer nämligen inte.
Säg mot modell för att oss önskar beräkna resten från summan 17 + 28 nära division tillsammans 6.

På den sista positionen hittar oss siffran 5.

Summan blir 45, vilken äger resten 3 nära division tillsammans med 6 ty \(45 = 7 \cdot 6+3\). dock plats till sig äger 17 samt 28 resterna 5 respektive 4 nära division tillsammans med 6. Summan från resterna blir således

5 + 4 = 9,

vilket ej existerar lika tillsammans med 3 liksom plats resten från summan. angående oss dock idag kalkylerar resten från 9 nära division tillsammans 6 får oss 3, identisk liksom resten från summan.

sålunda regeln blir istället för att ”resten från enstaka summa existerar lika tillsammans med resten från summan från resterna”.

Regel 2 - Multiplikation

Regeln 2 säger att: 

$$\mathbf{a \cdot b \equiv a\,' \cdot b\,' \pmod{n}}$$

Exempel: Låt oss titta en modell vid regel 2. oss önskar beräkna resten då (17 · 21) divideras tillsammans 5.

fanns till sig besitter oss att

$$\frac{17}{5} = 3 \text{ rest } 2 $$

och

$$\frac{21}{5} = 4 \text{ rest } 1 $$

Då en anförande existerar kongruent tillsammans sin rest förmå oss byta ut 17 samt 21 mot 2 respektive 1 inom våra beräkningar samt oss får då

$$17\cdot 21\equiv 2\cdot 1=2 \pmod{5}.$$

Den sista likheten existerar enstaka vanlig likhet då oss ej äger använt någon kongruensräkning inom detta steget utan helt enkelt bara multiplicerat ihop 2 samt 1.

Beräkna sista siffran tillsammans med modulo 10.

Denna kalkyl säger oss för att talen (17 · 21) samt 2 äger identisk rest nära division tillsammans 5. Då talet 2 existerar mindre än 5 existerar detta lika tillsammans med sin personlig rest nära division tillsammans 5. detta följer därför för att (17 · 21) äger resten 2 nära division tillsammans 5.

Även på denna plats existerar detta viktigt för att observera för att regel 2 ej säger att ”resten från enstaka vara existerar lika tillsammans produkten från resterna”.

säga mot modell för att oss önskar beräkna resten från produkten (15 · 10) nära division tillsammans 4.

Denna rest blir 2 ty

$$15 \cdot 10 = 150 = 148 + 2 = 37 \cdot 4 + 2.$$

Men fanns till sig besitter 15 samt 10 resterna 3 respektive 2 nära division tillsammans 4. Produkten från resterna blir således

$$3 \cdot 2 = 6,$$

vilket ej existerar lika tillsammans med resten 2. inom detta fall skulle den korrekta regeln artikel för att ”resten från enstaka vara existerar lika tillsammans resten från produkten från resterna”.

Räkneregel 3 - Potenser

Regeln 3 säger att:

$$\mathbf{a^m \equiv (a\,')^m \pmod{n}}$$

Exempel: Låt oss för tillfället titta en modell vid regel 3.

oss önskar beräkna resten från \(2^{10}\) nära division tillsammans med 3. oss använder ursprunglig potenslagarna på grund av för att nedteckna angående talet:

$$2^{10} = 2^{2 \cdot 5} = (2^2)^5 = 4^5.$$

Basen existerar idag 4 samt oss förmå i enlighet med regel 3 byta ut den mot en annat kongruent anförande modulo 3, förslagsvis resten nära division tillsammans med 3.

Denna rest existerar 1 sålunda oss får alltså att

$${4}^{5} \equiv {1}^{5}\, \pmod{3}.$$

Detta innebär sammantaget att

$$2^{10} = 4^5 \equiv 1^5 = 1\, \pmod{3},$$

där oss äger använt vanlig likhet överallt var oss ej gjort någon kongruensräkning. detta betyder alltså för att talen \(2^{10}\) samt 1 besitter identisk rest nära division tillsammans 3.

dock då resten från 1 nära division tillsammans med 3 existerar 1 (eftersom 1 existerar mindre än 3) innebär detta för att resten från \(2^{10}\) existerar 1 nära division tillsammans 3.

Även inom detta fall stämmer detta ej för att regel 3 säger att ”resten från ett potens existerar lika tillsammans med potensen från resten”.

Rolig uppgift.

säga mot modell för att oss önskar beräkna resten från \(7^2\) nära division tillsammans 4. Denna rest blir 1 ty

$$7^2 = 49 = 48+1=12 \cdot 4 + 1.$$

Men resten från basen 7 nära division tillsammans 4 blir 3 samt potensen från denna blir

$$3^2 = 9,$$

Tillämpning från räknereglerna på grund av kongruenser

Vi besitter för tillfället gått igenom dem olika räknereglerna.

Låt oss titta hur oss förmå nyttja kongruensräkning till för att åtgärda några olika problem.

---

Om detta existerar torsdag inom dygn, vilken veckodag existerar detta då angående ett miljon dagar?

Namnen vid veckans dagar återkommer såsom vän fanns sjunde ljus. existerar detta mot modell torsdag inom solens tid kommer detta därför för att artikel torsdag igen angående sju dagar, fjorton dagar, osv., detta önskar yttra angående enstaka multipel från 7 antal dagar.

Detta är kapabel oss nyttja till för att åtgärda vårt bekymmer.

ifall detta antal dagar liksom gått ifrån inom solens tid existerar delbart tillsammans 7 (det önskar yttra ger rest noll nära division tillsammans 7), då existerar den sökta veckodagen identisk veckodag vilket inom ljus (alltså ett torsdag). angående oss istället mot modell får resten 1 nära division tillsammans 7, betyder detta för att den sökta veckodagen existerar enstaka fredag; resten 2 nära division tillsammans 7 innebär veckodag, osv.

Därför undersöker oss vilken rest oss får då oss dividerar talet enstaka miljon tillsammans 7.

Talet enstaka miljon kunna oss nedteckna inom potensform vilket 10⁶. oss använder regel 3 samt byter ut basen 10 mot resten 3 nära division tillsammans med 7 samt skriver sedan angående denna potens tillsammans med hjälp från potenslagarna:

$${10}^{6} \equiv {3}^{6} = {3}^{2 \cdot 3} = (3^2)^3 = 9^3 \, \pmod{7}.$$

Vi är kapabel idag återigen nyttja regel 3 samt byta ut basen 9 mot resten 2 nära division tillsammans 7 samt oss får då

$${9}^{3} \equiv {2}^{3}\, \pmod{7}.$$

Den sista potensen existerar tillräckligt små på grund av för att beräkna till grabb samt oss får slutligen

$$2^3 = 8.$$

Vi äger idag alltså kommit fram mot för att \(10^6\) samt 8 besitter identisk rest nära division tillsammans med 7.

Det existerar sista upprepningen liksom gäller samt den sista siffran, vad detta är.

dock resten då 8 divideras tillsammans 7 existerar 1, alltså existerar resten då enstaka miljon divideras tillsammans med 7 lika tillsammans 1. Därför existerar detta fredag angående ett miljon dagar, självklart för att detta existerar torsdag idag.

---

Vilken existerar den sista siffran inom talet (72⁴ + 13⁶)?

Den sista siffran inom en heltal existerar entalssiffran, såsom ju är kapabel anta 10 olika värden (0 mot 9).

för att ta reda vid den sista siffran inom talet (72⁴ + 13⁶) är därför identisk sak likt för att beräkna resten nära division tillsammans 10. oss använder oss från regel 1 samt 3 likt tillsammans säger för att oss kunna byta ut baserna mot deras respektive rest nära division tillsammans 10. oss får då att

$$ {72}^{4} + {13}^{6} \equiv {2}^{4} + {3}^{6}\, \pmod{10}.$$

Vi använder idag potenslagarna till för att notera angående detta samt får

$$2^4 + 3^6 = 2^{2 \cdot 2} + 3^{3 \cdot 2} =(2^2)^2 +(3^3)^2 = 4^2 + 27^2 = 16 + 27^2.$$

Här förmå oss för tillfället återigen nyttja inledande samt tredjeplats räkneregeln samt oss får

$$16 + 27^2 \equiv 6 +7^2 = 6 + 49 \equiv 6+9 = 15 \pmod{10}.$$

Vi besitter idag alltså kommit fram mot för att (72⁴ + 13⁶) samt 15 äger identisk rest nära division tillsammans 10.

Då 15 äger resten 5 nära division tillsammans med 10 följer detta för att (72⁴ + 13⁶) besitter resten 5 nära division tillsammans med 10, detta önskar yttra för att den sista siffran inom talet (72⁴ + 13⁶) existerar 5.

---

Resten från stora tal

De stora talen existerar användbara nära flera tekniska tillämpningar från modulär aritmetik liksom encryption teknik mot modell.

Låt oss idag titta vid en exempel.

Vad existerar resten från \( 5^{41615103} \) nära division med 6?

Vi vet ju för att den enda tänkbara rest existerar 0, 1, 2, 3, 4 alternativt 5, dock hur man bestämmer vilket från dem detta är?

Låt oss hitta en mönster genom för att titta vid kvarlevor från talet 5 upphöjt mot dem inledande fem potensen nära division tillsammans 6.

5¹ har resten 5 nära division tillsammans 6, vilken är kapabel skrivas

$$5^1 \equiv 5 \pmod{6}$$

Och 5² har resten 1 nära division tillsammans 6, vilken förmå skrivas

$$5^2 \equiv 1 \pmod{6}$$

Enligt regeln 2 förmå oss sammanföra dem på denna plats numeriskt värde ekvationerna genom för att för att multiplicera båda vänstra sidorna samt båda högra sidorna på grund av för att erhålla enstaka färsk kongruensrelation

$$5^1 \cdot 5^2 \equiv 5 \cdot 1 \pmod{6}$$

Vilket ger oss

$$5^3 \equiv 5 \pmod{6}$$

På identisk sätt får oss (\(5^4 \equiv 1 \pmod{6}\)) osv.

\begin{align*}
5^1 \equiv 5 \pmod{6}, \\
5^2 \equiv 1 \pmod{6}, \\
5^3 \equiv 5 \pmod{6}, \\
5^4 \equiv 1 \pmod{6}, \\
5^5 \equiv 5 \pmod{6},\\ 
\hspace{-5.6cm} ...
\end{align*}

Vi äger för tillfället alltså kommit fram mot för att resen från \(5^n\) nära division tillsammans 6 besitter resten 5 till udda heltalen, \((n = 1, 3, 5, ...)\) samt besitter resten 1 på grund av jämna heltalen, \((n = 0, 2, 4, ...)\).

Det existerar ju klart för att 41615103 existerar en udda heltal, vilket betyder för att talet \( 5^{41615103} \) besitter resten 5 nära division tillsammans med 6.